奇偶性的定义

1. 奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(−x)=−f(x)，则称f(x)为奇函数。
2. 偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(−x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

应用示例

示例1：求函数解析式

题目：已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+2x。求f(x)的解析式。

解答：

1. 当x>0时，已知f(x)=x2+2x。
2. 当x<0时，由于f(x)是奇函数，有f(−x)=−f(x)。因此，f(x)=−f(−x)=−[(−x)2+2(−x)]=−x2+2x。
3. 当x=0时，由于f(x)是奇函数，且定义域包括0，所以f(0)=0。

综上，f(x)的解析式为：

f(x)=⎩⎨⎧x2+2x,0,−x2+2x,x>0x=0x<0

示例2：求函数值

题目：已知函数f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)=2x。求f(−3)的值。

解答：

1. 已知f(x)是偶函数，根据偶函数的定义，有f(−x)=f(x)。
2. 因此，f(−3)=f(3)。
3. 当x≥0时，已知f(x)=2x，所以f(3)=23=8。

综上，f(−3)=8。

总结

利用函数的奇偶性求函数的解析式或函数值，关键在于理解奇偶性的定义，并根据定义推导出所需的表达式或值。在解题过程中，需要注意函数的定义域，以及奇偶性在定义域内的应用。这类题目通常不难，但要求对奇偶性的概念有清晰的理解。

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