在数学史上，有一个传奇家族。家族三代，孕育了八位杰出的数学家，多项重要定理和发现与这个家族的姓氏紧密相连。

与此同时，这个家族还与惠更斯、莱布尼茨、欧拉等同时代的数学巨匠有着千丝万缕的联系，在科学史上留下了不可磨灭的印记。

这个家族就是伯努利家族，名副其实的数学第一世家。家族的先驱雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）不仅是概率论和变分法的奠基人，更是将自然常数e引入数学研究的第一人。弟弟约翰·伯努利（Johann Bernoulli）是大数学家欧拉的老师，自牛顿去世以后统治数学圈多年。在家族后代中，还有提出了伯努利方程的丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli），他也是流体力学、概率论和统计学开创者之一。

1655年1月6日，这个家族的传奇由此开启，在接下来的一百多年历经了数学史上非凡的荣耀之旅。

NO.1

崛起：科学革命兴起，叛离神学投身数学

历史上，伯努利家族发迹于比利时安特卫普。因为改信新教，于16世纪几经辗转迁至瑞士巴塞尔。通过前几代与当地大家族、富商联姻，到雅各布·伯努利出生之时，家境已经非常优渥。这也让雅各布有了“任性”的资本，执意要成为这个家族里第一个“不务正业”的数学家。

多年以后，当历史学家书写伯努利家族在数学上的辉煌成就时，一致追溯雅各布·伯努利的出生日1655年1月6日，为这个数学第一家族的诞生日。

雅各布·伯努利（1655-1705），伯努利家族的先驱。与惠更斯、莱布尼茨亦师亦友。莱布尼茨甚至感慨，除了他自己，雅各布最懂微积分。

雅各布·伯努利是家中长子。父母期望他能接管家族的香料生意，抑或是学习神学，日后可以进入神职部门。可是雅各布却对数学和天文学更感兴趣，并不想遵循家族传统发展。

17世纪，史无前例的科学思潮正在欧洲崛起。开普勒（Johannes Kepler）建立了行星运动的数学法则，笛卡尔（René Descartes）开创了解析几何，而牛顿（Isaac Newton）的万有引力定律和微积分学正在萌芽。

为了掌握当时最前沿的科学知识，雅各布在获得哲学和神学学位以后，花了6年时间遍访欧洲，拜谒了波义耳（Robert Boyle）、胡克（Robert Hooke）和惠更斯（Christiaan Huygens）等当代最杰出科学家，并在他们的亲自指导下深入研究数学。

1683年，雅各布回到瑞士，成为家族里首位“叛逆者”。他拒绝了教会工作，转而进入巴塞尔大学教授力学，并为当时正在发展的数学学科提供了逻辑学、概率学、几何学、无穷级数等研究著作，以及更为重要的数学基石之一：

常数e是雅各布在研究复利问题和无限级数时的一个重要发现。

假设我们将一笔钱存入银行，到期以后，本金加利息一并变成新的本金，接着按照原来的利息续存，称之为“复计利息”，简称“复利”。一般人会想当然地认为，照这样无限的存下去，盈利会越来越高。

但经雅各布计算，结果却并非如此。他将复利问题编写成一个无限级数，从中证明出：当存的次数无限多时，盈利的总和会趋向一个有限的值，即e！

常数e后来以数学家莱昂哈德·欧拉（上图）命名“欧拉数”（Euler's number），但它却是雅各布·伯努利最早发现的。e约等于 2.71828，在数学中其重要性与0、1、π和i并列。

NO.2

繁荣：一门双杰，名震数学圈

1687年，雅各布正式被任命为巴塞尔大学的数学教授，并执教终生。

希望落空的父母，转而将家族事业寄托于最小的儿子约翰·伯努利。约翰比雅各布小12岁，此时也进入了巴塞尔大学学习医学。

约翰既不喜欢商业，也对医学没兴趣。他只是想延迟继承家业，才说服父亲资助他一路读到医学博士。背地里，他一直追随雅各布学习数学。

在哥哥的指导下，约翰进步神速。不仅很快掌握了刚刚问世的微积分学，还和雅各布一起解决了一系列著名难题，以伯努利兄弟组合名震数学圈。

伯努利兄弟是早期应用和推广微积分学的先驱。在牛顿与莱布尼茨（上图）的微积分争端中，他们坚定地站在了莱布尼茨一方。

1691年，雅各布提出著名的悬链线问题可以通过微积分的方法来求解，而他自己却花费了整整一年时间也毫无进展。

“固定一条无限柔韧且不可伸展的链条两端，使其在重力作用下自然下垂，这条悬链线所形成的曲线是什么？”悬链线问题最早由达芬奇提出，困扰了欧洲数学圈两百年。它表面上看起来类似于抛物线，实际上并不是。

在这期间，他收到了来自莱布尼茨、惠更斯和弟弟约翰的解答，三人都成功解决了这一难题。其中，约翰的解法尤为巧妙。他将问题转化为求解一个二阶常微分方程，通过适当选取参数，得出了悬链线的解，从而证明悬链线是双曲余弦函数图形。

这是约翰独立于哥哥雅各布取得的第一个重要成果。欣喜之余，也悄然萌发了一个大胆的想法——终有一日我将超越雅各布。

随着约翰的日渐成熟，他急于摆脱家族的压力，也不希望一直委身于哥哥雅各布的光环之下。1694年，在惠更斯的建议下，约翰接受了格罗宁根大学的数学教授一职，远走荷兰。

约翰·伯努利（1667-1748），伯努利家族的“刺头”，喜欢挑战哥哥雅各布和牛顿。同时也是莱布尼茨的坚定盟友，欧拉的老师。

NO.3

纷争：学识竞争，升级兄弟对抗

出走的约翰·伯努利在数学圈日益显目，他喜欢以出题挑战的形式证明自己的数学水平。由于他和哥哥雅各布的研究方向一致，经常会因为同个问题你来我往的争论高低，兄弟失和的传闻愈演愈烈。

1696年，约翰就最速降线问题向全欧洲最重要的数学家们寄去了解题邀请信。为了迫使雅各布“应战”，他还专门在《博学学报》上发出了一封公开信。

最速降线问题：给定垂直平面上的两点A和B，一个仅受重力作用的小球从高点A出发，用最短的时间到达低点B，所绘出的路径是什么？

1638年，伽利略最早提出了最速降线问题，他认为这条路径是一条圆弧。

在发出挑战之前，约翰显然已经有了答案。他参考了费马原理中有关光程传播的知识以及惠更斯的摆线研究，证明此线应该是摆线。

牛顿、莱布尼茨、洛必达以及雅各布陆续给出了各自的解法，也都得出同一结论。

据说牛顿（上图）是从皇家铸币厂回到家时才看到了约翰·伯努利的信。他熬夜解答了这个问题，并以匿名的方式寄出了答案，附言“我不喜欢被外国人就数学的事情纠缠和取笑……”

当约翰看到雅各布的解法时，他觉得自己的方法更为巧妙。不想雅各布的解法虽然繁复，却蕴含了变分法的思想。

1766年，欧拉将雅各布解法改进，发明了这类问题的普通解法，同时衍生出一个全新的数学分支——变分法。随后，拉格朗日又做出了进一步改进，建立了分析力学。

欧拉是拉格朗日（上图）的重要导师。如此算来，拉格朗日与伯努利家族也有关联，他本人曾亲自登门拜访。

关于最速降线问题的这次交锋，也让兄弟关系彻底破裂，彼此不再沟通。

1705年，雅各布突然病逝。在他去世后，两部重要遗作《猜想的艺术》（1713）和《雅各布·伯努利作品集》（1744）陆续出版，收录了他的大部分重要成果，包括伯努利分布、伯努利数、伯努利大数定律以及概率论相关研究。

无论约翰多想超越雅各布，却始终摆脱不了哥哥的笼罩。不过其中会不会也有另一层因果：正是有弟弟的全力追击，雅各布才能始终笔耕不缀，屡创新作。

NO.4

传继：后辈青出于蓝，约翰晚节不保

雅各布去世后，约翰重回瑞士，如愿接替了巴塞尔大学数学教授的职位。

在教育领域，约翰是无敌的，因为他带出了两位大名鼎鼎的高材生——他的儿子尼古拉·伯努利和“数学之王”欧拉。

约翰原想培养儿子们学习商业。谁想数学天赋和叛逆基因继续在第二代中觉醒，儿子们提出交换条件：可以学商科或者医学，但是父亲得私下教他们数学。于是，数学圈又有了三位伯努利兄弟崭露头角，分别是哥哥尼古拉二世、老二丹尼尔和老三约翰二世。

上图从左至右分别是尼古拉二世·伯努利、丹尼尔·伯努利和约翰二世·伯努利，其中尼古拉二世·伯努利的成就最高。他一共获得过10次巴黎科学院大奖，仅次于欧拉。

1725年，圣彼得堡科学院筹建，尼古拉二世和丹尼尔同时收到邀请。给钱多，招生少，教授们可以有充分的自由探究感兴趣的问题。兄弟俩欣然前往，哥哥尼古拉二世担任数学教授，弟弟丹尼尔负责教授医学、力学。

不幸的是，就在圣彼得堡任职不到8个月，哥哥尼古拉二世病逝，丹尼尔陷入巨大悲痛。放心不下的约翰，推荐了还不到20岁的欧拉前往协助丹尼尔。两人从此亲密无间，于协作和竞争中维持了终生友谊。

在圣彼得堡的八年，丹尼尔的研究课题包含振动、概率、统计以及最具开创性的流体力学。欧拉则利用他出色的分析能力和深厚的数学造诣，将丹尼尔的许多物理见解转化为严格的数学表达。他俩一起创立了有关弹性体的力矩定律，一起发明了第一个血压仪，一起研究巴塞尔问题……欧拉甚至还帮丹尼尔改写过他最著名的伯努利方程。

可是丹尼尔始终不喜欢俄国的生活，于1733年回到了巴塞尔大学。令人百思不得其解的是，约翰再次将丹尼尔视作假想敌，处处与其较劲。

1734年，巴黎科学院大奖揭晓，约翰和丹尼尔同为特等奖的获奖者。父子同辉的喜事却让约翰心生不满，甚至将丹尼尔拒之门外。自雅各布和牛顿去世以后，他已经独领风骚多年，无法忍受有其他人挑战其地位，哪怕那个人是他的儿子。

为了避免与父亲直接竞争，丹尼尔选择不再触碰相关领域，专注天文、航海、重力、潮汐、磁力和洋流方面的研究。1738年，丹尼尔最重要的著作《流体动力学》问世，书中包含了著名的伯努利原理和伯努利方程，不仅使他成为流体力学的奠基人，同时也进一步巩固了伯努利家族在学术界的显赫声望。

伯努利原理

它是流体力学中的一条基本原理，从能量守恒定律中推导而来。该原理指出，在稳定流动中，流体中所有形式能量（动能、势能、压力）的总和在所有不受粘性力影响的点上都是相同的。

其最为著名的推论为：当水流等高流动时，流速越快，压强越小。

伯努利原理还有等价的数学表述，即伯努利方程：

其中，v代表流体速度，g代表重力加速度，h为流体的深度，p为 流体所受的压力强度，ρ为流体质量密度，constant代表常数。

100年后，借助伯努利方程，人类解决了飞机如何起飞的问题。

飞机起飞，靠的是大气对机翼的推力。根据伯努利方程，机翼的设计需要上部边缘的弯曲程度比下部大，造成气体在机翼表面所经过的路程更远，速度更快，进而机翼上部的压力也将低于下部。由此形成的压力差，将为飞机提供完美的提升力。

然而，约翰紧随其后出版的《水力学》也是关注的这一领域。为了显示他比丹尼尔的研究更早，还特意将成书时间标注为1732年。不过很快，约翰就被揭穿，他剽窃了丹尼尔的学术成果，学界哗然。

父子相争，导致约翰晚节不保。

NO.5

长青：家族辉煌继续，科学领域星光熠熠

1748年，约翰·伯努利以80岁高龄与世长辞，持续半个世纪的家族纷争终于告一段落。

在伯努利家族第二代中，还有提出了圣彼得堡悖论的尼古拉斯一世·伯努利（Nicolaus Bernoulli）。他是雅各布和约翰的侄子，从小跟随约翰在格罗宁根学习数学。后来，这一问题被堂弟丹尼尔以效用函数解决了。由此创建的预期效用理论，在微观经济学、博弈论中可用于衡量风险结果的价值。

尼古拉斯一世·伯努利Nicolaus I Bernoulli（1687-1759），研究微分方程和几何学，提出过圣彼得堡悖论

传继至第三代，伯努利家族又涌现出了数学家兼天文学家约翰三世、数学家兼物理学家雅各布二世。兄弟俩都极具天赋，十几岁时就在学界崭露头角，后来分别担任柏林大学、圣彼得堡科学院的数学教授。值得一提的是，伯努利家族继续同欧拉家族保持着世代友好的关系，雅各布二世的妻子正是欧拉的孙女。

从左到右，约翰三世·伯努利 Johann III Bernoulli（1744-1807）和雅各布二世·伯努利 Jakob II Bernoulli（1759-1789）

随着18世纪的流逝，伯努利家族的后裔们不再只专注数学，而是伴随学科细化，拓展至天文、地理、艺术、文学、考古和建筑等多个领域。据历史记载，至少有120位家族成员在各自的领域中留下了足迹。

NO.6

不朽：深远影响背后，是对科学进步的不懈追求

多年以后，伯努利家族的名字依旧被人们所铭记。他们追随科学革命的浪潮崛起、繁荣，他们留下的伯努利原理、伯努利方程、伯努利数等成果至今仍对学术界产生深远影响，为包括微积分学、流体力学、概率论和统计学在内的应用数学和物理学做出了巨大贡献。

当然，他们的故事不仅仅是关于公式和定理，还有野心、竞争、联盟，以及最不可或缺的——对科学进步的不懈追求。